Векторы остаточных вибраций вычисляются по следующим формулам:

Формулы могут быть продолжены в том же стиле в случае большего количества точек измерения (F, G, H и т.д.).

Где:

И так далее для точек C и D.
При вычислении уравновешивающих грузов  методом наименьших квадратов остаточные вибрации во всех точках измерения (A, B, C и D) будут минимальными.

В этом случае количество исходных уравнений становиться больше, чем количество неизвестных. Для получения однозначного решения нужно придумать что-то этакое, которое объединяло бы все неизвестные общим условием. Гаусс изобрел метод наименьших квадратов (МНК), с помощью которого можно было получать однозначные решения для специфических задач в разных областях знаний. Использовали его и балансировщики.

Корректирующие грузы, вычисленные методом наименьших квадратов, обеспечивают минимальные остаточные вибрации во всех точках измерения (в данном случае более двух). Остаточные вибрации будут разными, но минимальными  для каждой индивидуальной точки.
Далее приведены формулы, с помощью которых можно в Excel составить программу вычисления балгрузов этим методом. Итак, поехали, не пугайтесь!

где:

                        
(груз во второй плоскости противоположен по фазе, сдвинут на 180 градусов)

Знаменатель в формулах (2.1) вычисляется по формуле (2.2)

                                      
Это векторная разность двух произведений, составленных из четырех  векторов.
Где:

Если  , то пробные грузы выбраны не корректно.

Признак «качельности» объекта 

Признак слияния плоскостей балансировки 

Если при каждом пуске пробные грузы устанавливаются в обеих корректирующих плоскостях, то  коэффициенты влияния вычисляются по формулам   (2.1.).
                        

Исходные формулы   (1.1). Это просто система из двух алгебраических уравнений первой степени с двумя неизвестными, правда, в комплексном виде. Все величины векторные, о чем свидетельствует точка над индексом.
        

Решив эту систему, получаем формулы (1.2.) для вычисления балансировочных грузов.

         
где:

Формулы для вычисления коэффициентов влияния см.ниже (1.2.1 и 1.2.2.)

Вибрация – это периодическое возвратно-поступательное движение (колебание) объекта. Датчик преобразует вибрацию объекта в электрический сигнал, который мы можем измерить.

Частота и амплитуда – это две основные характеристики сигнала вибрации, которые мы замеряем. (Третья важная замеряемая характеристика, фаза, будет рассмотрена в следующей главе.) Чтобы найти частоту сигнала, берут величину обратную периоду. Период – это время, необходимое для совершения одного цикла колебаний.

Амплитуду обычно замеряют как: пик-пик (от минимума к максимуму, сокращенно п-п), пик (половина пик-пик), среднеквадратичное значение (сокращенно СКЗ).

Перемещение обычно замеряют как пик-пик, а скорость и ускорение – как пик. При вибрации на одной частоте перемещение, скорость и ускорение просто вычисляются одно из другого.

Автоколебания появляются при наличии механизма, который преобразует энергию, не связанную с колебаниями, в энергию колебаний. Колебания листьев на ветру являются примером такого вида колебаний. Ветер – это источник энергии. Энергия преобразуется через механизм вихреобразования в крутильные и поперечные колебания листьев.  

Так, например, разрушение моста Такома Нэрроуз в 1940 году было вызвано подобным механизмом. Ветер, дувший поперек моста, взаимодействовал с конструкцией моста и вызвал в нем аэродинамическое возбуждение нескольких крутильных мод. В конце концов, амплитуда крутильных колебаний стала настолько большой, что мост разрушился.